Cours de mathématiques niveau Bac+1 (classes prépa. scientifiques et commerciales, CPGE, licence de mathématiques et licences de sciences économiques et commerciales) Épisode 25 • Calcul différentiel 1) Introduction au théorème de Rolle 2) Retour sur la continuité 3) Le théorème de Rolle 4) Le théorème des accroissements finis 5) Inégalité des accroissements finis Rappel sur les fonctions lipschitziennes 6) Le théorème des accroissements finis généralisé 7) Bilan et compléments CPGE : MPSI, PCSI, PTSI, ECS, ECE, ECT, BCPST, TSI PACES, licence de mathématiques L1 eric75@yahoo.fr ... https://www.youtube.com/watch?v=p-B8jj2Jrbw

Pour soutenir la chaîne et la rendre viable dans la durée : https://www.tipeee.com/mathsplusun Dans ce troisième épisode consacré aux séries en mathématiques nous abordons les travaux de Jacques Bernoulli (1654 - 1705), l'un des grands mathématiciens du XVIIe siècle. Cet épisode peut être consulté par les étudiants de terminale et de niveau Bac+1 : MPSI, PCSI, PTSI, TSI, BCPST, ECS, licence L1 de mathématiques ainsi que par toute personne curieuse des travaux de Bernoulli sur les sommes infinies. Bernoulli est l'aîné d'une incroyable famille de mathématiciens et de scientifiques. Si Jacques Bernoulli est connu pour ses travaux en théorie des probabilités, il a également contribué de manière notable à l'étude des sommes infini et a découvert le nombre e (nombre de Neper) qui à l'époque n'avait pas de nom. Jacques Bernoulli a également donné son nom aux nombres de Bernoulli dont il n'a pas soupçonné l'importance. Les nombres de Bernoulli se retrouvent dans différentes branches des mathématiques et n'ont sans doute pas encore livré tous leurs secrets. Dans cet épisode nous croisons plusieurs mathématiciens : Pietro Mengoli, Gottfried Wilhelm Leibniz 1. La somme des inverses des racines carrées 2. L'article de 1692 sur les carrés des puissances de 2 3. Bernoulli et la formule des intérêts composés (ou la découverte du nombre e) Intérêts simples : suite arithmétique Intérêts composés : suite géométrique Une formule générale et une étrange suite. La suite est-elle convergente ? Une conjecture de convergence mais comment le démontrer ? La forme indéterminée un puissance l'infini. Comment lever l'indétermination. Utilisation de la formule du binôme. Une série numérique à la place d'un suite numérique. Convergence de la série ? La série converge plus vite que la suite ! La limite est un irrationnel (démonstration par l'absurde). La limite est le nombre e (nombre de Neper). 4. Les nombres de Bernoulli Le problème du calcul de la somme des puissances des entiers consécutifs. Pythagore et les nombres triangulaires Archimède et la somme des carrés des entiers consécutifs Aryabhata et la somme des cubes des entiers consécutifs D'autres mathématiciens s'intéressent au problème : Al-Karaji, Alhazen, Pierre de Fermat. Les astuces de Blaise Pascal (formule du binôme). La vision polynomiale de Johannes Faulhaber ouvre la voie à Bernoulli. Bernoulli découvre les nombres de Bernoulli (nom donné par Abraham de Moivre). Le mathématicien japonais Seki Kowa avait lui aussi découvert ces nombres. Éléments bibliographiques Analyse (maths spé MP-MP*) chez De Boeck Bernoulli (collection génies mathématiques) e: the story of a number par Eli Maor To infinity and Beyond par Eli Maor ... https://www.youtube.com/watch?v=HcasKjxidN8