Ce deuxième épisode consacré à la topologie générale est accessible dès le niveau Bac+1. le premier épisode se situait dans un cadre de vulgarisation scientifique. Nous introduisons ici les notions élémentaires de topologie générale de manière plus technique. Pour cela, nous utilisons la droite des réels, un espace topologique qui nous est familier depuis le collège. Les notions fondamentales topologie générale que sont la notion de voisinage de la notion d’ouvert sont définis dans le cadre des espaces métriques est donc plus particulièrement dans le cas de la droite des réels. 1. Les intervalles dans R Intervalles fermés, intervalles ouverts, intervalles semi-ouverts… Intervalles non bornés. Comment définir la notion d’intervalle ? Définition de la notion de segment. Définition de la convexité. Caractérisation des parties convexes de IR : les intervalles de IR sont justement les parties convexes de IR. Définition d’un intervalle. Union de deux intervalles, intersection de deux intervalles. Qu’est-ce qu’un espace métrique ? Qu’est-ce qu’une distance ? 2. Boules ouvertes et boules fermées Définition d’une boule ouverte Les boules ouvertes dans IR, ce sont les intervalles ouverts de IR. Les boules fermées dans IR, ce sont les intervalles fermés de IR. La notion de boule ouverte dans l’ensemble des nombres complexes. 3. Voisinage d’un point Définition d’un voisinage (Felix Hausdorff, 1914) Exemple visuel de voisinage d’un point La notion de voisinage dans R Exemple de voisinage sur la droite des réels Un cas un peu curieux lorsque E = [0, 1] Voisinage de l’infini dans R À quoi sert la notion de voisinage ? Définition de la notion de limite à l’aide des voisinages 4. Intérieur, adhérence et frontière La notion de point intérieur Illustration visuelle de la notion de point intérieur La notion de point intérieur dans IR Définition de l’intérieur d’une partie Propriétés de l’intérieur d’une partie Définition de la notion de point intérieur Notion de point adhérent dans R Définition de l’adhérence Exemples d’adhérence (de fermeture) dans R Définition de la notion de frontière d’une partie Exemples de frontière dans R 5. Notions d’ouverts de fermés La définition des ouverts et des fermés a été donnée par Felix Hausdorff en 1914 dans son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre. Définition d’un ouvert dans un espace métrique E et Ø, l’ensemble vide, sont à la fois des ouverts et des fermés. La notion d’ouvert n’est pas le contraire de la notion de fermé ! Boules ouvertes et ouverts : les boules ouvertes sont bien des ouverts. Toute boule fermée est bien un fermé. Ouverts et fermés dans R. Toute réunion d’ouverts de E est un ouve ... https://www.youtube.com/watch?v=B5gqNB8H5Ag

Cours de théorie des probabilités. Dans ce quatrième épisode, nous abordons la notion d'indépendance en probabilités, une notion duale des probabilités conditionnelles. Cet épisode peut être consulté par les élèves terminale S et ES/L ainsi que par toute personne désireuse d’apprendre la théorie des probabilités. Toutefois, cette vidéo s’adresse principalement aux étudiants de licence L1, aux étudiants en médecine (PACES) et aux étudiants des CPGE scientifiques (MPSI, PCSI, PTSI, TSI et BCPST), commerciales (ECS-1, ECE-1 et ECT-1) et littéraire (BL-1). Indépendance en loi Un piège classique : confondre événements incompatibles (notion ensembliste) et indépendance (notion liée à une probabilité donnée). Propriétés. Indépendance deux-à-deux Indépendance mutuelle https://www.facebook.com/mathsplusun https://www.instagram.com/mathsplusun https://twitter.com/mathsplusun https://www.youtube.com/channel/UCZocmvF0wYIFiGEksX2RDkg https://www.facebook.com/Al-music-916828658335421 La théorie des probabilités est non seulement une extraordinaire construction mathématique mais c’est également un outil pour de nombreuses disciplines : médecine, biologie, théorie du signal, économie, finance, physique quantique, réseaux de télécommunication… D’une formalisation récente (Kolmogorov en 1933), la théorie des probabilités fait appel à la théorie des ensembles, à la théorie de la mesure et de l’intégration (intégrale de Lebesgue). Son extension aux processus stochastiques en fait un domaine très actif (mouvement brownien, lemme de Itō..). eric75p@yahoo.fr © 2017, Maths PlusUn ... https://www.youtube.com/watch?v=Zla0kp9r1X4